KATA
PENGANTAR
Dengan
mengucap puji dan syukur kepada Tuhan yang Maha Esa , tugas makalah yang di
emban kepada kelompok kami dapat terselesaikan. Adapun judul dari makalah Kami
adalah “ LIMIT DAN KEKONTINUAN “
.Sebelumnya kami berterima kasih Kepada Dosen Matakuliah Kalkulus telah
memberikan kami kepercayaan untuk menyusun makalah ini.
Dalam
membuat makalah ini kami menggunakan metode Diskriptif, yaitu suatu metode
dimana kami memaparkan, menjelaskan, serta merangkum rumusan masalah menjadi
suatu sajian yang nantinya dapat menjadi sumber referensi bagi teman-teman
Mahasiswa sekalian.
Kami
juga melengkapi makalah ini
dengan berbagai fitur gambar dan animasi dengan tujuan agar dapat lebih menarik
suasana yang menarik. Materi dari Sub Bab ISI di makalah ini kami ambil dari
berbagai sumber. Baik itu buku maupun jurnal. Teman-teman sekalian bias
melihatnya dalam Daftar Pustaka.
Terlepas dari itu, kami menyadari
bahwa makalah yang ini jauh dari kata kesempurnaan. Maka dari itu, apabila
dalam makalah ini terdapat kekeliruan sudilah kiranya memberikan kepada kami
saran & kritik.
Kelompok
12
DAFTAR
ISI
KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang 1
1.2 Rumusan
Masalah 1
1.3 Tujuan
dan Manfaat 1
BAB II. ISI
2.1 Pengertian Kalkulus 2
2.2 Kekontinuan Fungsi. 6
2.2.1 Kekontinuan yang Banyak di Kenal 7
2.2.2 Kekontinuan di Bawah Operasi Fungsional 8
2.2.3 Kekontinuan pada selang 9
2.2.4
Kontinuitas Kanan dan Kontinuitas Kiri 10
2.2.5
Kontinuitas di dalam sebuah Interval 10
2.2.6
Teorema mengenai Kontinuitas 10
2.2.7
Sifat-Sifat Fungsi Kontinu 12
2.3 Limit
Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 13
2.3.1 Limit
Tak Hingga 13
2.3.2 Limit di tak Hingga 17
2.3.3
Limit tak Hingga di tak Hingga 19
BAB III. PENUTUP
3.1 Kesimpulan 22
3.2
Saran 22
DAFTAR PUSTAKA
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Berangkat dari perkembangan ilmu
pengetahuan yang sangat pesat di segala bidang aspek keilmuan menghasilkan
pemikiran-pemikiran baru dengan teori-teori baru yang dihasilkan dan mampu
menjawab serta menutupi pendapat atau teori-teori sebelumnya.Ini menunjukkan
sifat ilmu pengetahuan yang selalu dinamis dengan perubahan-perubahannya.
Di sini Kami sebagai Mahasiswa ingin
mengumpulkai teori-teori dan praktikum-praktikum dari berbagai sumber refrensi
dan merangkumnya dalam sebuah makalah yang bermanfaat. Karena sebuah teori pada
umumnya mengalami perkembangan, sehingga sering di artikan menjadi ilmu yang
tak mutlak harganya.
1.2 Rumusan
Masalah
1.
Apa itu Kalkulus ?
2.
Apakah limit dan kekontinuan itu ?
3.
Apakah yang dimaksud dengan kekontinuan fungsi ?
4.
Apa perbedaan limit tak hingga dan limit di tak hingga
!
1.3 Tujuan dan
Manfaat
Setelah mempelajari materi Kalkulus
ini tepatnya pada BAB II yaitu
“ LIMIT dan
KEKONTINUAN FUNGSI “ teman-teman semua bisa mengaplikasikan nya di bidang kimia .
BAB
II
ISI
2.1 Pengertian Kalkulus
Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil",
untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
yang mencakup limit, turunan,
integral,
dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan,
sebagaimana geometri
adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan
persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam
bidang-bidang sains, ekonomi,
dan teknik;
serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral
yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus
adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi,
yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum
dinamakan analisis matematika.
Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang
terkenal.
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.[1] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]
Pada zaman pertengahan,
matematikawan India,
Aryabhata,
menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan
masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3]
Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II
pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan
yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk
awal dari "Teorema Rolle".[4]
Sekitar tahun 1000,
matematikawan Irak
Ibn
al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus
perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu
metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat
penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5]
Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi
menemukan turunan
dari fungsi kubik,
sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6]
Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika
Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7],
yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]
Pada zaman modern, penemuan
independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa.
Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis
dan Isaac Barrow
memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Gottfried
Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja
Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai
kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.
Leibniz
dan Newton
mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua
orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam
waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke
bidang fisika
sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan
sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz
mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara
matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan
terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi
Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci
menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari
integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan
penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan
Newton menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan
yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus
menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan
kalkulus.[11]
Pengaruh penting
Walau beberapa konsep kalkulus
telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq,
Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17
sewaktu Isaac Newton
dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip
dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat
terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial
meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva,
dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa,
kerja,
dan tekanan.
Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat
dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk
mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama
berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang
meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga.
Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno.
Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga,
yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
2.2 KEKONTINUAN FUNGSI
Dalam bahasa yang biasa , kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu
proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak . Gagasan inilah yang berkenaan
dengan fungsi, yang sekarang ingin dipahami secara tepat . Pandang tiga grafik
yang memperlihatkan kontinuitas di c . Pada dua grafik pertama , lim f(x)
x c tidak
ada , atau ada tetapi tidak sama dengan f(c) . Hanya pada grafik ke
tiga lim
f(x) = f(c) .
x c
Definisi (Kekontinuan
di satu titik)
Andaikan f terdefinisi pada selang terbuka yang
mengandung c . Kita menyatakan bahwa f kontinu di c jika :
Syarat kontinu :
(1) ada
(2) ada (yaitu c berada dalam daerah asal f)
(3)
|
|
|
|
|
||||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh 1.
Diandaikan , x 2. Bagaimana
seharusnya f didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu ?
Penyelesaian :
=
Karena itu, kita mendefinisikan f(2) = 4 .
Kenyataannya , kita lihat bahwa f(x)=x+2 untuk semua x.
2.2.1
Kekontinuan Fungsi yang Banyak Dikenal
Sebagian besar fungsi yang akan kita jumpai dalam
buku ini (1) kontinu di mana-mana atau (2) di setiap titik terkecuali di
beberapa titik .
Teorema A . Kekontinuan Fungsi Polinomial dan Rasional
Fungsi polinom kontinu di setiap
bilangan real c. Fungsi rasional kontinu di
setiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yakni kecuali pada titik sehingga
penyebutnya adalah nol .
Teorema B. Kekontinuan Nilai Mutlak dan Fungsi-Fungsi Akar
ke-n
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu
di setiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c; jika n genap fungsi ini kontinu di setiap bilangan real positif c.
2.2.2 Kekontinuan di Bawah Operasi
Fungsional .
Apakah operasi-operasi fungsional yang
baku mempertahankan kekontinuan ? Ya, sesuai dengan Teorema C . Di dalamnya , f
dan g adalah fungsi-fungsi , k konstanta , dan n adalah bilangan bulat positif
.
Teorema C
Jika f dan g kontinu di c,
maka demikian juga kf, f + g , f
– g , f . g,
f / g (asalkan
g(c) 0), , dan (asalkan f(c) > 0 jika n genap).
Contoh 2.
Pada bilangan-bilangan berapa saja kontinu ?
Penyelesaian :
Untuk setiap bilangan positif, fungsi-fungsi semuanya kontinu (Teorema A dan B ), kemudian Teorema C bahwasanya dan akhirnya
Adalah kontinu di setiap bilangan positif.
Teorema D . Teorema Limit Komposisi
Jika dan jika f kontinu di L,
maka
Khususnya jika g kontinu di c dan
f
kontinu di g (c), maka fungsi
komposit kontinu di c.
2.2.3. Kekontinuan pada selang.
Sedemikian jauh , telah kita bahas
kekontinuan di suatu titik . Kita ingin membahas kekontinuan pada suatu selang
. Kokontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari
selang tersebut . Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk setiap selang
terbuka .
Definisi . Kekontinuan pada Selang
Kita katakan f kontinu pada suatu selang terbuka
jika f kontinu di setiap titik selang tersebut . Ia kontinu pada selang
tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) , kontinu di a , dan kontinu kiri di b .
Contoh 3.
Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan
sifat-sifat kekontinuan dari fungsi. Penylesaian :
Fungsi ini kontinu pada selang terbuka (-∞,
0 ), (0, 3) dan (5, ∞ ) dan juga pada selang tertutup [3, 5].
Teorema E. Teorema Nilai Antara
Jika f kontinu pada [a, b] dan jika W
sebuah bilangan antara f(a) dan f (b), jika f kontinu pada [a,b] , maka terdapat sebuah
bilangan c diantara a dan b sedemikian sehingga
f (c) = W.
Catatan :
Dua Fungsi Khusus
1) Fungsi nilai mutlak
2) Fungsi bilangan bulat terbesar
[[ ]]
Fungsi-fungsi ini di
didefinisikan dengan
dan [[ x ]]
= bilangan bulat terbesar yg
lebih kecil atau sama dengan x.
Misal : sedangkan
[[ -3,1 ]] = -4 dan [[ 3,1 ]] = 3.
2.2.4 Kontinuitas Kanan dan Kontinuitas Kiri
Jika f(x) hanya didefinisikan
untuk x≥xo , maka definisi yang di atas tidak berlaku. Di dalam
kasus seperti itu maka kita menamakan f(x) kontinu (di sebelah kanan) di x=xo
jika lim f(x) = f(xo),
yakni jika f(xo+) = f(xo) . Demikian juga ,
f(x)
x
xo+
kontinu (disebelah kiri) di x=xo jika
lim f(x) = f(xo) , yakni f(xo-)=f(xo) .
x xo-
2.2.5
Kontinuitas disalam sebuah Interval
Sebuah
fungsi f(x) dikatakan kontinu di dalam sebuah interval jika fungsi tersebut
kontinu di semua titik di dalam interval tersebut . Khususnya , jika f(x)
didefinisikan di dalam interval tertutup a≤x≤b atau[a,b] , maka f(x) kontinu di
dalam interval tersebut jika dan hanya jika untuk a<xo<b .
lim f(x) =
f(a) dan lim (fx) = f(b) .
x a+ x
a-
2.5.6 Teorema mengenai Kontinuitas
Teorema 1
Jika
f(x) dan g(x) kontinu di x=xo , maka demikian juga dengan f(x) +
g(x) , f(x) – g(x) , f(x).g(x) dan f(x)/g(x) , dan yang terakhir hanya kontinu
juka g(xo) ≠0 . Hasil-hasilnya yang serupa berlaku untuk kontinuitas
di dalam sebuah interval .
Teorema 2
Fungsi – fungsi yang berikut kontinu di
dalam tiap-tiap interval berhingga : (a) semua polinomial ; (b) sin x dan cos x
; (c) ax , a>0.
Teorema 3
Jika y=f(x) kontinu di x=xo dan
z=g(y) kontinu di y=yo dan jika yo = f(xo) ,
maka fungsi z=g[f(x)] , yang dinamakan fungsi dari sebuah fungsi atau fungsi
komposit , kontinu di x=xo . Kadang-kadang ini dinyatakan secara
ringkas sebagai sebuah fungsi kontinu di salam sebuah fungsi kontinu adalah
fungsi yang kontinu.
Teorema 4
Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval
tertutup , maka f(x) terbatas di dalam interval tersebut .
Teorema 5
Jika f(x) kontinu di x=xo dan
f(xo)>0 [atau f(xo)<0 ] , maka terdapat sebuah
interval di sekitar x=xodi dalam mana f(x)>0 [atau f(x)<0 ] .
Teorema 6
Jika sebuah fungsi f(x) kontinu di dalam
sebuah interval dan baik yang bertambah secara secara seksama maupun berkurang
secara seksama , maka fungsi invers f-1 (x) adalah fungsi bernilai
tunggal , kontinu dan baik yang bertambah secara seksama maupun yang berkurang
sevara seksama .
Teorema 7
Jika f(x) kontinu di dalam [a,b] dan jika
f(a) = A dan f(b) = B , maka bersesuaian dengan sebarang bilangan C di antara A
dan B terdapat paling sedikit satu bilangan c di dalam [a,b] sehingga f(c)=C .
Ini kadang-kadang dinamakan teorema nilai perantara (intermediate value
theorem).
Teorema 8
Jika f(x) kontinu di dalam [a,b] dan jika
f(a) dan f(b) mempunyai tanda-tanda berlawanan maka terdapat paling sedikit
satu bilangan c untuk mana f(c) = 0 dimana a<c<b . Teorema ini
berhubungan kepada Teorema 7.
Teorema 9
Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval
tertutup , maka f(x) mempunyai sebuah nilai maksimum M untuk paling sedikit
satu nilai x di dalam interval tersebut dan mempunyai sebuah nilai minimum m
untuk paling sedikit satu nilai x di dalam interval tersebut . Selanjutnya ,
f(x) dapat mempunyai semua nilai di antara m dan M untuk satu atau lebih nilai
x di dalam interval tersebut .
Teorema 10
Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval
tertutup dan jika M dan m berturut-turut adalah batas atas terkecil (1.u.b.)
dan batas bawah terbesar (g.1.b.) dari f(x) , maka terdapat paling sedikit satu
nilai x di dalam interval tersebut untuk mana f(x) = M atau f(x) = m . Teorema
ini dihubungkan kepada Teorema 9.
2.2.7 Sifat-sifat Fungsi Kontinu
I.
Jika
f(x) dan g(x) kontinu di titik x=a , maka f(x) ±g(x) ; f(x) g(x) dan f(x)/g(x)
kontinu pula untuk g(a)≠0
II.
Polinom
dalam x kontinu untuk semua harga x.
III.
Fungsi
rasional dari x kontinu untuk semua harga x kecuali untuk x yang memberikan
harga nol pada penyebut .
IV.
Jika
f(x) kontinu dalam interval a≤x≤b dan jika f(a) ≠f(b) , maka untuk sebarang
bilangan c antara f(a) dan f(b) , akan terdapat paling sedikit satu harga x ,
misalkan x=xo yang memberikan f(xo) = c
V.
Jika
f(x) kontinu dalam interval a≤x≤b , maka f(x) akan mempunyai nilai terendah m
dan nilai terbesar M dalam interval tersebut .
2.3 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak
Hingga
Limit tak hingga adalah konsep limit yang
melibatkan lambang ∞ dan -∞ , yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar/mengecil
tanpa batas atau bila peubah x membesar/mengecil tanpa batas . Konsep pertama
adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada
selang yang memuat c . Dalam hal ini kemungkinannya adalah :
atau
(x c dapat
diganti x c+ atau x c-
) . Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang
membesar tanpa batas (x ∞) atau untuk peubah x yang mengecil
tanpa batas (x - ∞) , yang dikenal
sebagai limit di tak hingga . Dalam hal ini kemungkinannya adalah :
atau
Kasus lainnya adalah gabungan dari
kedua konsep ini , yaitu limit tak hingga di tak hingga , yang kemungkinannya
adalah :
atau
atau
2.3.1 Limit Tak Hingga
Kita mempunyai fungsi f yang grafiknya
diperlihatkan pada gambar . Perhatikan bahwa jika x mendekati c , maka nilai
f(x) semakin lama semakin membesar dan tak berbatas (membesar tanpa batas) .
Dari situasi ini secara intuitif akan dibangun konsep limit tak hingga .
Lambang
Menyatakan banwa, f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.
y
x=c
Gambar. Limit
Tak Hingga
0 x
Sama seperti limit fungsi di satu
titik , situasi ini akan dilihat dengan seksama. Kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang
bilangan positif dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c , tetapi x ≠c .
Ini berarti bahwa
Bila M>0 sebarang diberikan , kita
dapat menentukan suatu > 0 sehingga
untuk x yang memenuhi 0<|x-c| <, berlaku
f(x)>M .
Secara matematis , kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang
> 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) > M
Sebagai pengertian matematis dari. Jadi kita sampai
pada definisi berikut .
Definisi. Misalkan
fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c , kecuali mungkin di c
sendiri . Limit fungsi f di c adalah tak hingga , ditulis
, atau f(x)
∞ bila x c
Jika > 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) > M.
Sejalan dengan definisi ini kita juga
mempunyai limit trak hingga lainnya , yaitu limit kiri dan limit kanan dari
definisi ini , dan juga limit yang hasilnya -∞ beserta limit kiri dan limit
kanannya . Kita hanya akan memperkenalkan kelima kasus ini hanya dalam lambang
matematika disertai dengan situasi geometrisnya.
y y
f
f
x
0 c x c
y y
c c
0 x 0 f x
f
y
c
0 f x
Definisi .
·
jika > 0 > 0 0 < x-c < f(x) > M
·
jika > 0 > 0 0 < c-x < f(x) > M
·
jika < 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) < N
·
jika < 0 > 0 0 < c-x < f(x) < N
·
jika < 0 > 0 0 < x-c < f(x) < N
Dengan menggunakan konsep limit tak hingga dapat dibuktikan teorema
berikut.
Teorema.
1.
1/xn = ∞ , n bilangan asli .
2.
1/xn = ∞, n bilangan genap positif
-∞,
n bilangan ganjil positif
3. 1/xn = ∞, n bilangan genap positif
Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :
Berapakah , dalam kasus ≠0 dan
Jawaban masalah ini adalah ∞,atau-∞, cara menentukannya diberikan teorema
berikut.
Teorema . Jika ≠0 dan , maka =
a.
∞, bila L>0 dan g(x) 0 dari atas (arah nilai g(x) yang
positif),
b.
-∞, bila L<0 dan g(x) 0 dari atas (arah nilai g(x) yang
positif),
c.
-∞, bila L>0 dan g(x) 0 dari bawah (arah nilai g(x) yang negatif),
d.
∞, bila L<0 dan g(x) 0 dari bawah (arah nilai g(x) yang
negatif).
Catatan
Teorema ini juga berlaku bila x c diganti oleh x c+ atau x
c-
2.3.2
Limit
di tak Hingga
Kita mempunyai fungsi f yang
grafiknya diperlihatkan pada gambar. Perhatikanlah bahwa jika peubah x membesar
tanpa batas , maka f(x) akan mendekati dengan L . Dari situasi ini secara
intuitif akan dibangun konsep limit di tak hingga . Lambang
y
L
f
x ∞
0 m x
x
> m
Gambar. Limit di tak
Hingga
Dengan proses seperti pada limit fungsi di satu
titik, secara lebih seksama kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup
besar , atau
Jarak
f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu
bilangan positif .
Ini berarti bahwa
Bila
>0 sebarang diberikan , kita dapat menentukan
suatu m>0 sehingga untuk x yang memenuhi x>m , berlaku |f(x)-L| <.
Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang
> 0 > 0 x > m|f(x)-L| <.
Sebagian pengertian matematis dari . Jadi kita sampai
pada definisi berikut ini .
Definisi. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang
(a,∞). Limit fungsi f untuk x membesar
tanpa batas adalah L , ditulis
, atau f(x) L
bila x ∞
Jika > 0 > 0 x > m|f(x)-L| <.
Dengan cara yang sama , kita dapat
mendefinisikan limit fungsi f bila peubahnya mengecil tanpa batas . Pada gambar
berikut ini , perhatikan bahwa jika x mengecil tanpa batas , maka fungsi f(x)
dekat dengan L . Dari sini kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat sebarang dekat L dean cara mengambil x yang cukup
kecil .
Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi pada
selang (-∞,b) . Limit fungsi f untuk x mengecil tanpa batas adalah L , ditulis
atau f(x) L bila x ∞
Jika > 0 n < 0 x < n|f(x)-L| <
y
f
L
-∞ x
n 0 x
x < n
Gambar.
Limit di Negatif tak Hingga
Teorema
1. 1 = 0 , n bilangan asli. 2. 1 = 0 , n bilangan asli.
xn xn
Bukti Kita buktikan Teorema ini, yang lainnya
diserahkan untuk latihan pembaca . Dibiarkan > 0 , akan
ditentukan suatu m > 0 sehingga x > m
1 - 0 =
1 <
xn
xn
Berdasarkan relasi 1 < xn >
1 x> 1 ,
pilihlah m=1 >0 . Akibatnya ,
xn
x > m = 1 xn >
1 – 0 < Sehingga terbuktilah yang diinginkan.
xn
Catatan Sifat-sifat limit di satu
titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit , dan
prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga . Pernyataan teoremanya
persis sama , tetapi x c diganti oleh x
∞ , atau diganti oleh x -∞ , dan daerah asal fungsi f
disesuaikan . Dalam pemecahan soal , kita seringkali harus memanipulasi bentuk
fungsinya agar muncul bentuk 1/xn , sehingga teorema di atas dapat
digunakan .
2.3.3
Limit tak Hingga di tak Hingga
Limit tak hingga adalah kasus dimana f(x) ±∞ bila x ±∞
. Terdapat empat kasus untuk limit ini . Situasi geometri untuk dua kasus
pertama diperlihatkan pada gambar berikut . Perhatikan lambang matematika yang
digunakan pada setiap kasus dari definisi limit tak hingga di tak hingga .
y
f
0 x
dan
Gambar . Limit tak Hingga di tak Hingga
y
f
0 x
dan
Gambar .
Limit tak Hingga di tak Hingga
Definisi
·
jika > 0 > 0 x >mf(x) > M
·
jika < 0 > 0 x > m f(x) < N
·
jika > 0 < 0 x < n f(x) > M
·
jika < 0 < 0 x < nf(x) < N
Teorema 1. xn =∞,
n bilangan asli .
2. xn = ∞, n genap(bilangan asli)
-∞, n ganjil(bilangan asli)
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Kontinu digunakan untuk menggambarkan
suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak .
2. Kekontinuan
di satu titik : Andaikan f
terdefinisi pada selang terbuka yang mengandung c . Kita menyatakan bahwa f
kontinu di c jika : .
3. Kekontinuan pada Selang : Kita katakan f
kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang
tersebut . Ia kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) ,
kontinu di a , dan kontinu kiri di b .
4. Limit tak hingga adalah konsep limit yang
melibatkan lambang ∞ dan -∞ , yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar/mengecil
tanpa batas atau bila peubah x membesar/mengecil tanpa batas . Konsep pertama
adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada
selang yang memuat c .
3.2 Saran
Sebaiknya
para siswa lebih memperdalam lagi pengetahuannya tentang konsep limit dan kekontinuan fungsi ini,
karena pengetahuan tersebut pasti
sangat bermanfaat . Saya berharap makalah dan hasil presentasi kami ini dapat
menjadi sumber refrensi dan media pembelajaran yang bermanfaat bagi pembacanya
. Akan tetapi , jika para pembaca ingin mengetahui lebih dalam tentang isi
makalah ini , kami telah menyediakan daftar pustaka yang dapat di manfaatkan
sebagai sumber refrensi lain .
DAFTAR PUSTAKA
Martono,Koko.1999.Kalkulus.Bandung:Erlangga
Setya Budi,Wono.2001.Kalkulus
Peubah Banyak dan Penggunaannya.
Bandung:ITB
Silaban,Pantur.1986.Kalkulus Lanjutan.Jakarta:Erlangga
Soemartojo,N.1988.Kalkulus Edisi Ketiga.Jakarta:Erlangga
Soemoenar.1999.Kalkulus
I.Jakarta:Universitas Terbuka
Verberg,Purcell,dan Rigdon.2003.Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1.
Jakarta:Erlangga