Limit dan Kekontinuan Fungsi

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap puji dan syukur kepada Tuhan yang Maha Esa , tugas makalah yang di emban kepada kelompok kami dapat terselesaikan. Adapun judul dari makalah Kami adalah “ LIMIT DAN KEKONTINUAN “  .Sebelumnya kami berterima kasih Kepada Dosen Matakuliah Kalkulus telah memberikan kami kepercayaan untuk menyusun makalah ini.

Dalam membuat makalah ini kami menggunakan metode Diskriptif, yaitu suatu metode dimana kami memaparkan, menjelaskan, serta merangkum rumusan masalah menjadi suatu sajian yang nantinya dapat menjadi sumber referensi bagi teman-teman Mahasiswa sekalian.

Kami juga melengkapi makalah ini dengan berbagai fitur gambar dan animasi dengan tujuan agar dapat lebih menarik suasana yang menarik. Materi dari Sub Bab ISI di makalah ini kami ambil dari berbagai sumber. Baik itu buku maupun jurnal. Teman-teman sekalian bias melihatnya dalam Daftar Pustaka.

Terlepas dari itu,  kami menyadari bahwa makalah yang ini jauh dari kata kesempurnaan. Maka dari itu, apabila dalam makalah ini terdapat kekeliruan sudilah kiranya memberikan kepada kami saran & kritik.

                                                                           Medan, 6 September 2013

                                                                                                  

                                                                                       Kelompok 12

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR                                                                         i

DAFTAR ISI                                                                                                   ii

BAB I.  PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang                                                                               1

1.2  Rumusan Masalah                                                               1

1.3  Tujuan dan Manfaat                                                                        1

BAB II. ISI

            2.1 Pengertian Kalkulus                                                                        2

            2.2 Kekontinuan Fungsi.                                                                       6

                        2.2.1 Kekontinuan yang Banyak di Kenal                                  7

                        2.2.2 Kekontinuan di Bawah Operasi Fungsional                       8

                        2.2.3 Kekontinuan pada selang                                     9

                        2.2.4 Kontinuitas Kanan dan Kontinuitas Kiri                10

                        2.2.5 Kontinuitas di dalam sebuah Interval                                 10

                        2.2.6 Teorema mengenai Kontinuitas                                         10

                        2.2.7 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu                                                12

2.3  Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga                           13

                        2.3.1 Limit Tak Hingga                                                 13

                  2.3.2 Limit di tak Hingga                                                           17

                  2.3.3 Limit tak Hingga di tak Hingga                                         19

BAB III. PENUTUP

            3.1 Kesimpulan                                                                                    22

            3.2 Saran                                                                                             22

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

            Berangkat dari perkembangan ilmu pengetahuan yang sangat pesat di segala bidang aspek keilmuan menghasilkan pemikiran-pemikiran baru dengan teori-teori baru yang dihasilkan dan mampu menjawab serta menutupi pendapat atau teori-teori sebelumnya.Ini menunjukkan sifat ilmu pengetahuan yang selalu dinamis dengan perubahan-perubahannya.

            Di sini Kami sebagai Mahasiswa ingin mengumpulkai teori-teori dan praktikum-praktikum dari berbagai sumber refrensi dan merangkumnya dalam sebuah makalah yang bermanfaat. Karena sebuah teori pada umumnya mengalami perkembangan, sehingga sering di artikan menjadi ilmu yang tak mutlak harganya.

1.2 Rumusan Masalah

           

            1.    Apa itu Kalkulus ?

2.      Apakah limit dan kekontinuan itu ?

3.      Apakah yang dimaksud dengan kekontinuan fungsi ?

4.      Apa perbedaan limit tak hingga dan limit di tak hingga !

1.3 Tujuan dan Manfaat

            Setelah mempelajari materi Kalkulus ini tepatnya pada BAB II yaitu

“ LIMIT dan KEKONTINUAN FUNGSI “ teman-teman semua bisa mengaplikasikan nya di bidang kimia .

BAB II

 ISI

2.1 Pengertian Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.^[1] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.^[2]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.^[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".^[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.^[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. ^[6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor^[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.^[8][9][10]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.^[11]

Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

2.2 KEKONTINUAN FUNGSI

Dalam bahasa yang biasa , kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak . Gagasan inilah yang berkenaan dengan fungsi, yang sekarang ingin dipahami secara tepat . Pandang tiga grafik yang memperlihatkan kontinuitas di c . Pada dua grafik pertama , lim f_{(x) x        c}   tidak ada , atau ada tetapi tidak sama dengan f_(c) . Hanya pada grafik ke tiga  lim  f_(x) = f_{(c) .}

       _{x       c}

Definisi  (Kekontinuan di satu titik)

Andaikan f terdefinisi pada selang terbuka yang mengandung c . Kita menyatakan bahwa f kontinu di c jika :

           

                                                

Syarat kontinu :

(1)  ada

(2)  ada  (yaitu c berada dalam daerah asal f)

(3)

y

●

○

Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu) di c.

f

                                                      tidak ada                                             

			x
	c

 

                    

y

●

f

○

                                                             ada, tetapi

                                               

x

	y

c

f

                                                                    = 

 

Contoh 1.

Diandaikan    ,  x  2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan di x = 2 agar kontinu di titik itu ?

Penyelesaian     :

 

                   =

Karena itu, kita mendefinisikan f(2) = 4 . Kenyataannya , kita lihat bahwa f(x)=x+2 untuk semua x.

           

            2.2.1 Kekontinuan Fungsi yang Banyak Dikenal

Sebagian besar fungsi yang akan kita jumpai dalam buku ini (1) kontinu di mana-mana atau (2) di setiap titik terkecuali di beberapa titik .

Teorema  A . Kekontinuan Fungsi Polinomial dan Rasional

Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan real c. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real c dalam daerah asalnya, yakni kecuali pada titik sehingga penyebutnya adalah nol .

Teorema B. Kekontinuan Nilai Mutlak dan Fungsi-Fungsi Akar ke-n

Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real c. Jika n ganjil, fungsi akar ke-n kontinu di setiap bilangan real c; jika n genap fungsi ini kontinu di setiap bilangan real positif c.

2.2.2 Kekontinuan di Bawah Operasi Fungsional .

Apakah operasi-operasi fungsional yang baku mempertahankan kekontinuan ? Ya, sesuai dengan Teorema C . Di dalamnya , f dan g adalah fungsi-fungsi , k konstanta , dan n adalah bilangan bulat positif .

Teorema C

Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga  kf, f + g , f – g , f . g,

 f / g (asalkan g(c)  0), , dan  (asalkan f(c) > 0 jika n genap).

Contoh 2.

Pada bilangan-bilangan berapa saja    kontinu  ?

Penyelesaian :

Untuk setiap bilangan positif, fungsi-fungsi semuanya kontinu (Teorema A dan B ),  kemudian Teorema C bahwasanya dan akhirnya

                                              

  Adalah kontinu di setiap bilangan positif.

Teorema D . Teorema Limit Komposisi

 Jika  dan jika f  kontinu di L, maka

                               Khususnya jika g kontinu di c dan f  kontinu di g (c), maka fungsi komposit kontinu di c.

2.2.3. Kekontinuan pada selang.

Sedemikian jauh , telah kita bahas kekontinuan di suatu titik . Kita ingin membahas kekontinuan pada suatu selang . Kokontinuan pada selang selayaknya berarti kekontinuan di setiap titik dari selang tersebut . Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk setiap selang terbuka .

Definisi . Kekontinuan pada Selang

Kita katakan f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut . Ia kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) , kontinu di a , dan kontinu kiri di b .

Contoh 3.

Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi. Penylesaian       :

Fungsi ini kontinu pada selang terbuka (-∞, 0 ), (0, 3) dan (5, ∞ ) dan juga pada selang tertutup [3, 5].

Teorema E. Teorema Nilai Antara

Jika f kontinu pada [a, b] dan jika W sebuah bilangan antara f(a) dan f (b), jika f kontinu pada [a,b] , maka terdapat sebuah bilangan c diantara a dan b sedemikian sehingga   f (c) = W.

Catatan :

Dua Fungsi Khusus

1)      Fungsi nilai mutlak 

2)      Fungsi bilangan bulat terbesar [[   ]]

Fungsi-fungsi ini di didefinisikan dengan

                      

dan   [[ x ]]  =  bilangan bulat terbesar yg lebih kecil atau sama dengan x.

Misal :  sedangkan

             [[ -3,1 ]] = -4 dan [[ 3,1 ]] = 3.

      2.2.4 Kontinuitas Kanan dan Kontinuitas Kiri

Jika f(x) hanya didefinisikan untuk x≥x_o , maka definisi yang di atas tidak berlaku. Di dalam kasus seperti itu maka kita menamakan f(x) kontinu (di sebelah kanan) di x=x_o jika lim f(x)  = f(x_o), yakni jika f(x_o⁺) = f(x_o) . Demikian juga , f(x)

                               _{x           xo}⁺

kontinu (disebelah kiri) di x=x_o jika lim f(x) = f(x_o) , yakni f(x_o^-)=f(x_{o) .}

                                                                                _{x            xo}^-

2.2.5 Kontinuitas disalam sebuah Interval

            Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu di dalam sebuah interval jika fungsi tersebut kontinu di semua titik di dalam interval tersebut . Khususnya , jika f(x) didefinisikan di dalam interval tertutup a≤x≤b atau[a,b] , maka f(x) kontinu di dalam interval tersebut jika dan hanya jika  untuk a<x_o<b .          

lim f(x)  = f(a) dan lim (fx) = f(b) .

_{x            a}⁺                      _{x            a}^-

               

2.5.6 Teorema mengenai Kontinuitas

Teorema 1

 Jika f(x) dan g(x) kontinu di x=x_o , maka demikian juga dengan f(x) + g(x) , f(x) – g(x) , f(x).g(x) dan f(x)/g(x) , dan yang terakhir hanya kontinu juka g(x_o) ≠0 . Hasil-hasilnya yang serupa berlaku untuk kontinuitas di dalam sebuah interval .

Teorema 2

Fungsi – fungsi yang berikut kontinu di dalam tiap-tiap interval berhingga : (a) semua polinomial ; (b) sin x dan cos x ; (c) a^x , a>0.

Teorema 3

Jika y=f(x) kontinu di x=x_o dan z=g(y) kontinu di y=y_o dan jika y_o = f(x_o) , maka fungsi z=g[f(x)] , yang dinamakan fungsi dari sebuah fungsi atau fungsi komposit , kontinu di x=x_o . Kadang-kadang ini dinyatakan secara ringkas sebagai sebuah fungsi kontinu di salam sebuah fungsi kontinu adalah fungsi yang kontinu.

Teorema 4

Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval tertutup , maka f(x) terbatas di dalam interval tersebut .

Teorema 5

Jika f(x) kontinu di x=x_o dan f(x_o)>0 [atau f(x_o)<0 ] , maka terdapat sebuah interval di sekitar x=x_odi dalam mana f(x)>0 [atau f(x)<0 ] .

Teorema 6

Jika sebuah fungsi f(x) kontinu di dalam sebuah interval dan baik yang bertambah secara secara seksama maupun berkurang secara seksama , maka fungsi invers f^-1 (x) adalah fungsi bernilai tunggal , kontinu dan baik yang bertambah secara seksama maupun yang berkurang sevara seksama .

Teorema 7

Jika f(x) kontinu di dalam [a,b] dan jika f(a) = A dan f(b) = B , maka bersesuaian dengan sebarang bilangan C di antara A dan B terdapat paling sedikit satu bilangan c di dalam [a,b] sehingga f(c)=C . Ini kadang-kadang dinamakan teorema nilai perantara (intermediate value theorem).

Teorema 8

Jika f(x) kontinu di dalam [a,b] dan jika f(a) dan f(b) mempunyai tanda-tanda berlawanan maka terdapat paling sedikit satu bilangan c untuk mana f(c) = 0 dimana a<c<b . Teorema ini berhubungan kepada Teorema 7.

Teorema 9

Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval tertutup , maka f(x) mempunyai sebuah nilai maksimum M untuk paling sedikit satu nilai x di dalam interval tersebut dan mempunyai sebuah nilai minimum m untuk paling sedikit satu nilai x di dalam interval tersebut . Selanjutnya , f(x) dapat mempunyai semua nilai di antara m dan M untuk satu atau lebih nilai x di dalam interval tersebut .

Teorema 10

Jika f(x) kontinu di dalam sebuah interval tertutup dan jika M dan m berturut-turut adalah batas atas terkecil (1.u.b.) dan batas bawah terbesar (g.1.b.) dari f(x) , maka terdapat paling sedikit satu nilai x di dalam interval tersebut untuk mana f(x) = M atau f(x) = m . Teorema ini dihubungkan kepada Teorema 9.

2.2.7 Sifat-sifat Fungsi Kontinu

        I.            Jika f(x) dan g(x) kontinu di titik x=a , maka f(x) ±g(x) ; f(x) g(x) dan f(x)/g(x) kontinu pula untuk g(a)≠0

     II.            Polinom dalam x kontinu untuk semua harga x.

   III.            Fungsi rasional dari x kontinu untuk semua harga x kecuali untuk x yang memberikan harga nol pada penyebut .

  IV.            Jika f(x) kontinu dalam interval a≤x≤b dan jika f(a) ≠f(b) , maka untuk sebarang bilangan c antara f(a) dan f(b) , akan terdapat paling sedikit satu harga x , misalkan x=x_o yang memberikan f(x_o) = c

     V.            Jika f(x) kontinu dalam interval a≤x≤b , maka f(x) akan mempunyai nilai terendah m dan nilai terbesar M dalam interval tersebut .

2.3 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞ , yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar/mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar/mengecil tanpa batas . Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c . Dalam hal ini kemungkinannya adalah :

                                    atau                 

(x         c dapat diganti x           c⁺  atau x          c^- ) . Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x                    ∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas (x       - ∞) , yang dikenal sebagai limit di tak hingga . Dalam hal ini kemungkinannya adalah :

                                 atau                 

Kasus lainnya adalah gabungan dari kedua konsep ini , yaitu limit tak hingga di tak hingga , yang kemungkinannya adalah :

                    atau                 

           

                               atau                 

2.3.1 Limit Tak Hingga

Kita mempunyai fungsi f yang grafiknya diperlihatkan pada gambar . Perhatikan bahwa jika x mendekati c , maka nilai f(x) semakin lama semakin membesar dan tak berbatas (membesar tanpa batas) . Dari situasi ini secara intuitif akan dibangun konsep limit tak hingga . Lambang

           

Menyatakan banwa, f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.

            y

                                       x=c

 

                                  Gambar. Limit Tak Hingga

 

       0                                                               x

Sama seperti limit fungsi di satu titik , situasi ini akan dilihat dengan seksama. Kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c , tetapi x ≠c .

Ini berarti bahwa

Bila M>0 sebarang diberikan , kita dapat menentukan suatu > 0 sehingga untuk x yang memenuhi 0<|x-c| <, berlaku f(x)>M .

Secara matematis , kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang

            > 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) > M

Sebagai pengertian matematis dari. Jadi kita sampai pada definisi berikut .

Definisi. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c , kecuali mungkin di c sendiri . Limit fungsi f di c adalah tak hingga , ditulis

            ,           atau      f(x)           ∞ bila x           c

Jika      > 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) > M.

Sejalan dengan definisi ini kita juga mempunyai limit trak hingga lainnya , yaitu limit kiri dan limit kanan dari definisi ini , dan juga limit yang hasilnya -∞ beserta limit kiri dan limit kanannya . Kita hanya akan memperkenalkan kelima kasus ini hanya dalam lambang matematika disertai dengan situasi geometrisnya.

y                                                                      y

 

    f

                                                                       f           

                                                                                                             x

0                    c              x                                          c

                                            

y                                                                      y

                      c                                                                            c

0                                      x                              0          f                         x

                    f

                                   

                                   

                                       

                                     y

                                              c                       

                                    0                   f              x

                                   

Definisi .

·        jika > 0 > 0 0 < x-c < f(x) > M

·        jika > 0 > 0 0 < c-x < f(x) > M

·        jika < 0 > 0 0 < |x-c| < f(x) < N

·        jika < 0 > 0 0 < c-x < f(x) < N

·        jika < 0 > 0 0 < x-c < f(x) < N

Dengan menggunakan konsep limit tak hingga dapat dibuktikan teorema berikut.

Teorema.

1.      1/xⁿ  = ∞ , n bilangan asli .

2.      1/xⁿ  = ∞, n bilangan genap positif

         -∞, n bilangan ganjil positif

      3.  1/xⁿ  = ∞, n bilangan genap positif

Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :

            Berapakah , dalam kasus ≠0 dan

Jawaban masalah ini adalah ∞,atau-∞, cara menentukannya diberikan teorema berikut.

Teorema .       Jika ≠0 dan , maka =

a.       ∞, bila L>0 dan g(x)      0 dari atas (arah nilai g(x) yang positif),

b.      -∞, bila L<0 dan g(x)      0 dari atas (arah nilai g(x) yang positif),

c.       -∞, bila L>0 dan g(x)      0 dari bawah (arah nilai g(x) yang negatif),

d.      ∞, bila L<0 dan g(x)      0 dari bawah (arah nilai g(x) yang negatif).

Catatan Teorema ini juga berlaku bila x       c diganti oleh x       c⁺ atau x             c^-

2.3.2        Limit di tak Hingga

Kita mempunyai fungsi f yang grafiknya diperlihatkan pada gambar. Perhatikanlah bahwa jika peubah x membesar tanpa batas , maka f(x) akan mendekati dengan L . Dari situasi ini secara intuitif akan dibangun konsep limit di tak hingga . Lambang

         y

                                                                                   

           

   L

                                                f

                                                                                    x       ∞

               0                                                     m                            x

                                                                                    x > m

            Gambar. Limit di tak Hingga

           

Dengan proses seperti pada limit fungsi di satu titik, secara lebih seksama kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup besar , atau

Jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif .

Ini berarti bahwa

Bila >0 sebarang diberikan , kita dapat menentukan suatu m>0 sehingga untuk x yang memenuhi x>m , berlaku |f(x)-L| <.

Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang

            > 0 > 0 x  >  m|f(x)-L| <.

Sebagian pengertian matematis dari . Jadi kita sampai pada definisi berikut ini .

Definisi. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a,∞). Limit fungsi f untuk x membesar tanpa batas adalah L , ditulis

            ,                    atau                  f(x)        L bila x        ∞

Jika      > 0 > 0 x  >  m|f(x)-L| <.

Dengan cara yang sama , kita dapat mendefinisikan limit fungsi f bila peubahnya mengecil tanpa batas . Pada gambar berikut ini , perhatikan bahwa jika x mengecil tanpa batas , maka fungsi f(x) dekat dengan L . Dari sini kita dapat menyatakan bahwa f(x) dapat dibuat sebarang dekat L dean cara mengambil x yang cukup kecil .

Definisi

Misalkan fungsi f  terdefinisi pada selang (-∞,b) . Limit fungsi f untuk x mengecil tanpa batas adalah L , ditulis

                   atau      f(x)       L bila x        ∞

Jika        > 0 n < 0 x  < n|f(x)-L| <

                                                y

                                                                        f

 

                                                     L

-∞          x

                                                                                                                       

                        n                      0                                                          x

            x  <  n

           

                        Gambar. Limit di Negatif tak Hingga

Teorema

1.      1  = 0 , n bilangan asli.            2. 1 = 0 , n bilangan asli.

  xⁿ                                                                         xⁿ

Bukti   Kita buktikan Teorema ini, yang lainnya diserahkan untuk latihan pembaca . Dibiarkan > 0 , akan ditentukan suatu m > 0 sehingga x > m

 1  - 0   = 1  <

 xⁿ               xⁿ

Berdasarkan relasi 1 < xⁿ > 1 x> 1 , pilihlah m=1 >0 . Akibatnya ,

                              xⁿ                                                    

x > m = 1 xⁿ >   1 – 0    <  Sehingga terbuktilah yang diinginkan.

                                    xⁿ

Catatan Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit , dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga . Pernyataan teoremanya persis sama , tetapi x                c diganti oleh x             ∞ , atau diganti oleh x           -∞ , dan daerah asal fungsi f disesuaikan . Dalam pemecahan soal , kita seringkali harus memanipulasi bentuk fungsinya agar muncul bentuk 1/xⁿ , sehingga teorema di atas dapat digunakan .

           

2.3.3        Limit tak Hingga di tak Hingga

Limit tak hingga adalah kasus dimana f(x)    ±∞ bila x          ±∞ . Terdapat empat kasus untuk limit ini . Situasi geometri untuk dua kasus pertama diperlihatkan pada gambar berikut . Perhatikan lambang matematika yang digunakan pada setiap kasus dari definisi limit tak hingga di tak hingga .

                        y

               

                                                                       

                                    f

 

                        0                                                              x

         dan                 

Gambar . Limit tak Hingga di tak Hingga

                         y

                                           f

                                               

                        0                                                                x

     dan                  

            Gambar . Limit tak Hingga di tak Hingga

Definisi

·        jika > 0 > 0 x >mf(x) > M

·        jika < 0 > 0 x > m f(x) < N

·        jika > 0 < 0 x  < n f(x) > M

·        jika < 0 < 0 x < nf(x) < N

Teorema         1. xⁿ =∞, n bilangan asli .

2. xⁿ = ∞, n genap(bilangan asli)

                      -∞, n ganjil(bilangan asli)

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1.      Kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak .

2.      Kekontinuan di satu titik : Andaikan f terdefinisi pada selang terbuka yang mengandung c . Kita menyatakan bahwa f kontinu di c jika : .

3.      Kekontinuan pada Selang : Kita katakan f kontinu pada suatu selang terbuka jika f kontinu di setiap titik selang tersebut . Ia kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b) , kontinu  di a , dan kontinu kiri di b .

4.      Limit tak hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞ , yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar/mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar/mengecil tanpa batas . Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c .

3.2 Saran

            Sebaiknya para siswa lebih memperdalam lagi pengetahuannya tentang konsep limit dan kekontinuan fungsi ini, karena pengetahuan tersebut pasti sangat bermanfaat . Saya berharap makalah dan hasil presentasi kami ini dapat menjadi sumber refrensi dan media pembelajaran yang bermanfaat bagi pembacanya . Akan tetapi , jika para pembaca ingin mengetahui lebih dalam tentang isi makalah ini , kami telah menyediakan daftar pustaka yang dapat di manfaatkan sebagai sumber refrensi lain .

       

                                                

DAFTAR PUSTAKA

Martono,Koko.1999.Kalkulus.Bandung:Erlangga

Setya Budi,Wono.2001.Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya.

 Bandung:ITB

Silaban,Pantur.1986.Kalkulus Lanjutan.Jakarta:Erlangga

Soemartojo,N.1988.Kalkulus Edisi Ketiga.Jakarta:Erlangga

Soemoenar.1999.Kalkulus I.Jakarta:Universitas Terbuka

Verberg,Purcell,dan Rigdon.2003.Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1.

            Jakarta:Erlangga